Αρχική > Θετικές Επιστήμες > Μαθηματικά: Η μόνη πραγματική παγκόσμια γλώσσα

Μαθηματικά: Η μόνη πραγματική παγκόσμια γλώσσα

Είναι εμφανής η αποχή μου από το ιστολόγιο.. Και αυτό γιατί βρίσκομαι στην τελική ευθεία όπως συνηθίζουμε να λέμε, πριν από τις πανελλήνιες εξετάσεις. Αυτό, σε συνδιασμό με δεκάδες άλλα προβλήματα που δεν θα ήθελα να αναλύσω εδώ, με κράτησαν μακριά από την ενασχόλησή μου με το ιστολόγιο. Από τώρα και στο εξής, μέχρι το καλοκαίρι μην με μαλώσετε αν δεν είμαι τακτικός τόσο στη δημοσίευση αναρτήσεων, όσο και την αποδοχή σχολίων. Από το καλοκαίρι θα σας αποζημιώσω.

Αν ερχόμαστε ποτέ σε επαφή με ευφυείς εξωγήινους που ζούσαν σε ένα πλανήτη γύρω από ένα μακρινό αστέρι, θα περιμέναμε να υπάρχουν κάποια προβλήματα επικοινωνίας μαζί τους. Επειδή θα είμαστε πολλά έτη φωτός μακριά, τα σήματα μας θα χρειάζονται πολλά χρόνια για να φτάσουν εκεί πάνω, κι έτσι δεν θα υπήρχε περιθώριο για έντονη κουβέντα μαζί τους. Θα μπορούσε να υπάρχει ανάμεσα μας ένα χάσμα IQ ενώ οι εξωγήινοι ενδέχεται να έχουν δημιουργηθεί από μια εντελώς διαφορετική χημεία.

Ωστόσο, θα υπήρχε και πολύ κοινό έδαφος μεταξύ μας. Θα είναι φτιαγμένοι από παρόμοια άτομα όπως εμείς. Θα ήξεραν να εντοπίζουν τις ρίζες τους πίσω στο big bang,  κάπου 13,7 δισεκατομμύρια χρόνια πριν, ενώ θα μοιραστούν μαζί με μας το μέλλον του σύμπαντος. Ωστόσο, η πιο σίγουρη κοινή κουλτούρα θα ήταν τα μαθηματικά.

Τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης για χιλιάδες χρόνια, και είναι εξαιρετικά επιτυχημένη. Σε ένα φημισμένο δοκίμιο, ο μεγάλος φυσικός Eugene Wigner έγραψε για την «παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών». Οι περισσότεροι από εμάς μένουν αμήχανοι με την αινιγματική φράση που εξέφρασε ο Wigner, καθώς επίσης και με τον Αϊνστάιν με το ρητό του ότι «το πιο ακατανόητο πράγμα σχετικά με το σύμπαν είναι το ότι είναι κατανοητό». Θαυμάζουμε το γεγονός ότι το σύμπαν δεν είναι άναρχο – πως τα άτομα υπακούουν στους ίδιους νόμους στον μακρινό γαλαξία όπως και στο εργαστήριο. Οι εξωγήινοι θα έμεναν έκπληκτοι, όπως και εμείς, από τα μοντέλα στο κοινό μας σύμπαν και από την αποτελεσματικότητα των μαθηματικών για την περιγραφή αυτών των φαινομένων.

Μπορούν δε τα μαθηματικά να δείξουν και τον δρόμο προς νέες ανακαλύψεις στη φυσική. Ο γνωστός βρετανός θεωρητικός Paul Dirac χρησιμοποίησε  καθαρά μαθηματικά για να διατυπώσει μια εξίσωση που οδήγησε στην ιδέα της αντιύλη αρκετά χρόνια προτού αναγνωριστεί το πρώτο αντισωματίδιο το 1932. Οι φυσικοί κρατούν την τύχη στα χέρια τους με τα μαθηματικά, καθώς αποσκοπούν να εξετάσουν ακόμη βαθύτερα επίπεδα της δομής του Σύμπαντος; Υπάρχουν όρια που καθορίζονται από την εγγενή ικανότητα του μυαλού μας; Μπορούν οι υπολογιστές να προσφέρουν γνώσεις και όχι απλώς να επεξεργάζονται αριθμούς; Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα που με απασχολούν.

Τα προηγούμενα γεγονότα στον χώρο της φυσικής είναι ενθαρρυντικά. Οι δύο μεγάλες ανακαλύψεις στη φυσική του 20ου αιώνα οφείλονται σε αρκετό βαθμό στα μαθηματικά. Η πρώτη ήταν η διατύπωση της κβαντικής θεωρίας τη δεκαετία του 1920, ο δε Dirac ήταν ένας από τους μεγάλους πρωτοπόρους της. Η θεωρία μας λέει ότι, για την ατομική κλίμακα, η φύση είναι εγγενώς ασαφής. Ωστόσο, τα άτομα συμπεριφέρονται με συγκεκριμένους μαθηματικούς τρόπους όταν εκπέμπουν και όταν απορροφούν το φως, ή συνδέονται μαζί για να κάνουν τα μόρια.

Η άλλη ανακάλυψη ήταν η γενική σχετικότητα του Αϊνστάιν. Πάνω από 200 χρόνια πριν, ο Ισαάκ Νεύτων έδειξε ότι η δύναμη που κάνει τα μήλα να πέφτουν είναι ίδια με την βαρύτητα που κρατά τους πλανήτες σε τροχιές. Τα μαθηματικά του Νεύτωνα ήταν αρκετά καλά ώστε να πετάξουν τα διαστημόπλοια στο διάστημα και να κατευθυνθούν κοντά σε πλανήτες, αλλά ο Αϊνστάιν υπερέβαλε το Νεύτωνα. Η γενική θεωρία της σχετικότητας θα μπορούσε να αντιμετωπίσει τις πολύ υψηλές ταχύτητες και την ισχυρή βαρύτητα, προσφέρουν βαθύτερη γνώση της βαρύτητας της φύσης.

Ωστόσο, παρά τις βαθιές γνώσεις της φυσικής, ο Αϊνστάιν δεν ήταν κορυφή στα μαθηματικά. Η αναγκαία γλώσσα για τη μεγάλη εννοιολογική πρωτοπορία της φυσικής του 20ού αιώνα υπήρχε ήδη και ο Αϊνστάιν ήταν τυχερός που οι γεωμετρικές έννοιες που χρειαζόταν είχαν ήδη αναπτυχθεί από τον γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann έναν αιώνα νωρίτερα. Η σε ομάδα των νέων θεωρητικών υπό την ηγεσία του Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg και Dirac ήταν εξίσου τυχεροί που μπορούσαν να εφαρμόσουν έτοιμα μαθηματικά.

Οι αντίστοιχοι φυσικοί του 21ου αιώνα – όσοι δηλαδή επιδιώκουν να ταιριάξουν τη γενική σχετικότητα και την κβαντική μηχανική σε μια ενοποιημένη θεωρία – δεν είναι τόσο τυχεροί. Μια ενοποιημένη θεωρία βρίσκεται σε εκκρεμότητα ακόμα για την επιστήμη.

Οι πιο δημοφιλείς θεωρίες πιστεύουν ότι τα σωματίδια που απαρτίζουν τα άτομα αποτελούνται από μικροσκοπικούς βρόχους, ή χορδές, που δονούνται σε ένα χώρο με 10 ή 11 διαστάσεις. Αυτή η θεωρία χορδών συνεπάγεται ισχυρά πολύπλοκα μαθηματικά που βεβαίως δεν μπορούν να βρεθούν στο ράφι, και οι προκλήσεις που θέτει η νέα θεωρία είναι ένα κίνητρο για τους μαθηματικούς. Ο Ed Witten, ένας γνωστός διανοητικός ηγέτης της θεωρίας χορδών, κατατάσσεται ως ένας παγκόσμιας κλάσης μαθηματικός, αλλά και πολλοί άλλοι μαθηματικοί προσελκύονται από αυτή την πρόκληση.

Η θεωρία χορδών δεν είναι η μόνη προσέγγιση για μια ενοποιημένη θεωρία, αλλά είναι αυτή που έχει μελετηθεί περισσότερο. Η προσπάθεια είναι σίγουρα καλή για τα μαθηματικά, αλλά υπάρχει μια διαμάχη σχετικά με το πόσο καλή είναι για την φυσική. Υπάρχουν επιχειρήματα για το αν η θεωρία χορδών είναι σωστή, για το αν θα υποστηρίζεται από το πείραμα, αλλά ακόμη για το αν υπάρχει η φυσική εκεί μέσα. Υπάρχουν δε γραφεί πολλά βιβλία για το θέμα αυτό με εμπορική επιτυχία.

Για μένα, η κριτική της θεωρίας χορδών ως διανοητικό επιχείρημα φαίνεται να είναι φτωχή. Είναι αλαζονικό να κάνεις κριτική της απόφασης της αφρόκρεμας του επιστημονικού κόσμου, που επιλέγουν να αφιερώσουν την ερευνητική σταδιοδρομία τους σε αυτή της θεωρία. Ωστόσο, θα πρέπει να ανησυχούμε για την υπερβολική συγκέντρωση των ταλέντων σε αυτό τον τομέα.

Η ανακάλυψη μιας ενοποιημένης θεωρίας θα είναι η ολοκλήρωση ενός προγράμματος που ξεκίνησε με το Νεύτωνα. Η θεωρία χορδών, αν είναι σωστή, θα κερδίσει το όραμα του Αϊνστάιν και του Αμερικανού φυσικού John Wheeler ότι ο κόσμος είναι ουσιαστικά μια γεωμετρική δομή.

Υπάρχει βέβαια και η ενδιαφέρουσα πιθανότητα, που πιστεύω πως δεν θα πρέπει να απορριφθεί, ότι υπάρχει η «αληθινή» θεμελιώδης θεωρία, που απλά μπορεί να είναι πολύ δύσκολο για να συλληφθεί από τον ανθρώπινο νου. Ένα ψάρι μόλις και μετά βίας μπορεί να γνωρίζει το μέσο μέσα στο οποίο ζει και κολυμπά. Σίγουρα δεν έχει την πνευματική ισχύ να κατανοήσει ότι το νερό αποτελείται από αλληλένδετα άτομα του υδρογόνου και του οξυγόνου. Η μικροδομή του κενού χώρου θα μπορούσε, επίσης, να είναι πάρα πολύ πολύπλοκη για να συλληφθεί από τον ανθρώπινο νου χωρίς βοήθεια.

H θεωρία χορδών συνεπάγεται κλίμακες ένα δισεκατομμύριο δισεκατομμύρια φορές μικρότερες από ό,τι μπορούμε άμεσα να εξετάσουμε. Στο άλλο άκρο, οι κοσμολογικές θεωρίες μας δείχνουν ότι το σύμπαν είναι πολύ πιο εκτεταμένο από ό,τι μπορούμε να παρατηρήσουμε με τα τηλεσκόπια. Μπορεί ακόμα και να είναι άπειρο. Ο χώρος που οι αστρονόμοι αποκαλούν το «σύμπαν» – το διάστημα που εκτείνεται περισσότερο από 10 δισεκατομμύρια έτη φωτός γύρω μας και που περιέχει δισεκατομμύρια γαλαξίες, ο καθένας με δισεκατομμύρια αστέρια, δισεκατομμύρια πλανήτες (και ίσως και δισεκατομμύρια βιόσφαιρες) – θα μπορούσε να αποτελεί απειροελάχιστο μέρος ενός υπερ-σύμπαντος.

Υπάρχει ένας σαφής χρονικός ορίζοντας για τις άμεσες παρατηρήσεις μας στον ουρανό: ένα σφαιρικό κέλυφος γύρω μας, έτσι ώστε πέρα από αυτό το φως δεν είχε ποτέ χρόνο για να φτάσει μετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Ωστόσο, δεν υπάρχει τίποτα φυσικό σχετικά με αυτό τον ορίζοντα. Αν είστε στη μέση του ωκεανού, είναι αντιληπτό ότι το νερό τελειώνει λίγο μετά τον ορίζοντα πέρα από σας. Επίσης, υπάρχουν λόγοι για να υποψιαζόμαστε ότι το σύμπαν μας – απόηχος της Μεγάλης Έκρηξης – εκτείνεται πολύ περισσότερο από ό,τι μπορούμε να δούμε.

Και δεν τελειώνουμε εδώ: η Μεγάλη Έκρηξη δεν μπορεί να είναι η μόνη. Μια ιδέα που ονομάζεται αιώνιος πληθωρισμός και έχει αναπτυχθεί σε μεγάλο βαθμό από τον Andrei Linde στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, προβλέπει να αναδύονται ατέλειωτα big bangs, σε ένα διαρκώς διευρυνόμενο υπόστρωμα. Ή θα μπορούσε να υπάρχουν άλλοι χωρόχρονοι, παράλληλοι με τον δικό μας – όλοι τους ενσωματωμένοι σε ένα υψηλότερων διαστάσεων χώρο. Ο δικός μας θα μπορούσε να είναι ένα σύμπαν μέσα στο πολυσύμπαν.

Τότε θα έχουν σημασία άλλοι κλάδοι των μαθηματικών. Χρειαζόμαστε μια αυστηρή γλώσσα για να περιγράψει τον αριθμό των πιθανών καταστάσεων που θα μπορούσε να διαθέτει ένα σύμπαν και να συγκρίνει την πιθανότητα διαφορετικών συνθέσεων. Επίσης, απαιτείται μια σαφέστερη αντίληψη του ίδιου του άπειρου.

Το πολυσύμπαν μας αναγκάζει να το αντιμετωπίσουμε με άπειρα, πολλαπλασιασμένα με άλλες άπειρα – ίσως και συνεχώς. Για να αντιμετωπίσουμε αυτές τις έννοιες, πρέπει να αναπτύξουμε ειδικά μαθηματικά των άπειρων αριθμών, τα οποία χρονολογούνται από τον Georg Cantor τον 19ο αιώνα. Ο Georg Cantor έδειξε ότι υπάρχει ένα αυστηρός τρόπος για να συζητήσουμε το άπειρο και ότι, σε μια καλά καθορισμένη ιδέα υπάρχει άπειρο πλήθος διαφόρων μεγεθών. Με αυτές τις εξωτικές ιδέες, οι κοσμολόγοι δεν θα είναι σε θέση να εδραιώσουν την ιδέα του πολυσύμπαντος και να αποφασίσουν, χωρίς παράδοξα ή ασάφειες, τι είναι πιθανό και τι είναι απίθανο μέσα σε αυτό.

Σε πιο βαθύ επίπεδο, η φυσική πραγματικότητα μπορεί να έχει μια γεωμετρική περιπλοκότητα που θα ικανοποιεί κάθε ευφυή ον στη Γη ή πέραν αυτής. Υπό την προϋπόθεση ότι εμείς θα μπορούσαμε να την καταλάβουμε, μια ενοποιημένη θεωρία που θα το αποκαλύψει θα είναι ένας πνευματικός θρίαμβος. Η «θεωρία των όλων», όπως ονομάζεται ωστόσο, είναι υβριστική και παραπλανητική, δεδομένου ότι δεν θα μπορέσει να προσφέρει καμιά βοήθεια στο 99 τοις εκατό των επιστημόνων. Η Χημεία και η Βιολογία δεν αναπτύχθηκαν ακόμα και μη γνωρίζοντας τι συνέβαινε επακριβώς στον πυρήνα; Ακόμη λιγότεροι είναι αυτοί που εξαρτώνται από την δομή του χωρόχρονου. Η θεωρία χορδών θα μπορούσε να ενοποιήσει τα δύο μεγάλα επιστημονικά σύνορα, το πολύ μεγάλο και το πολύ μικρό, αλλά υπάρχει ένα τρίτο σύνορο – και το πολύ περίπλοκο. Αυτό είναι ίσως το πιο δύσκολο απ ‘όλα, και είναι το σύνορο για τα οποίο εργάζονται οι περισσότεροι επιστήμονες.

Υπάρχουν, ωστόσο, λόγοι να ελπίζουμε ότι θα μπορούσαν να διέπουν απλοί κανόνες κάποια φαινομενικά πολύπλοκο φαινόμενα. Αυτό έγινε γνωστό το 1970 από τον μαθηματικό John Conway, που ανακάλυψε το «παιχνίδι της ζωής». Ο Conway ήθελε να επινοήσει ένα παιχνίδι που θα ξεκινούσε με ένα απλό μοντέλο και με την χρήση βασικών κανόνων με σκοπό να εξελίσσεται ξανά και ξανά. Άρχισε λοιπόν να πειραματίζεται με τα μαύρα και άσπρα τετράγωνα σε ένα πίνακα και ανακάλυψε ότι με την προσαρμογή των απλών κανόνων του παιχνιδιού, που καθορίζει πότε ένα τετράγωνο γίνεται μαύρο από άσπρο και αντιστρόφως, καθώς και των μοντέλων έναρξης, ορισμένες ρυθμίσεις παράγουν απίστευτα πολύπλοκο αποτελέσματα φαινομενικά από το πουθενά. Μπορούν όμως να εμφανιστούν ορισμένα μοντέλα που φαίνεται να έχουν μια ζωή σαν την δική μας καθώς κινούνται γύρω.

Ο πραγματικός κόσμος είναι παρόμοιος: απλοί κανόνες επιτρέπουν περίπλοκες συνέπειες. Ενώ ο Conway χρειάζεται μόνο ένα μολύβι και χαρτί για να σχεδιάσει το παιχνίδι του, θέλει έναν υπολογιστή για να διερευνήσει πλήρως το φάσμα της πολυπλοκότητας που ενυπάρχει σε αυτό.

Προσομοιώσεις σε υπολογιστές έχουν δώσει τεράστια ώθηση στην επιστήμη. Και δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο οι υπολογιστές δεν μπορούν πράγματι να κάνουν ανακαλύψεις, αν και με τον δικό τους ξεχωριστό τρόπο. Ο υπολογιστής Deep Blue της IBM που παίζει σκάκι δεν υπολόγιζε τη στρατηγική του σαν ένα ανθρώπινο μυαλό. Αντίθετα, επωφελήθηκε από την υπολογιστική ταχύτητα για να διερευνήσει εναλλακτικές εκατομμύρια σειρές από κινήσεις και αντιδράσεις πριν αποφασίσει την βέλτιστη κίνηση του. Αυτή η πνευματική προσέγγιση υπερισχύει κι ένα παγκόσμιο πρωταθλητή.

Η ίδια προσέγγιση θα μπορούσε να αξιοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων που μας έχουν μέχρι τώρα διαφύγει. Για παράδειγμα, οι επιστήμονες σήμερα αναζητούν νέους υπεραγωγούς που, αντί να απαιτούν χαμηλές θερμοκρασίες για να άγουν το ηλεκτρικό ρεύμα, όπως κάνουμε τώρα, θα δουλεύουν σε συνήθη θερμοκρασία δωματίου. Οι σημερινές έρευνες κάνουν πολλές δοκιμές και σφάλματα, διότι κανείς δεν καταλαβαίνει τι ακριβώς κάνει την ηλεκτρική αντίσταση να εξαφανίζεται πιο εύκολα σε κάποια υλικά από ό,τι σε άλλα. Ας υποθέσουμε ότι μια μηχανή κατέληξε σε μία συνταγή για ένα τέτοιο υπεραγωγό. Παρόλο που μπορεί να το έχει καταφέρει με τον ίδιο τρόπο που ο Deep Blue νίκησε το Ρώσο πρωταθλητή του σκακιού Garry Kasparov, και όχι λόγω μιας θεωρίας ή στρατηγικής, θα έχει πετύχει κάτι που να αξίζει το βραβείο Nobel.

Προσομοιώσεις που χρησιμοποιούν όλο και πιο ισχυρούς υπολογιστές θα βοηθήσουν, κατά παρόμοιο τρόπο, τους επιστήμονες να κατανοήσουν διαδικασίες που είτε έχουμε μελετήσει σε εργαστήρια είτε δεν παρατηρούμε άμεσα. Στην αστρονομία, οι ερευνητές μπορούν να έχουν ήδη δημιουργήσει ένα εικονικό σύμπαν σε έναν υπολογιστή και να εκτελέσουν πειράματα σε αυτό, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός της γέννησης και του θανάτου των άστρων.

Κάποια μέρα, ίσως, άλλοι θα τις χρησιμοποιούν για την προσομοίωση πολλών χημικών διεργασιών, συμπεριλαμβανομένης και της πολυπλοκότητας μέσα στα κύτταρα, το πώς συνδυάζονται τα γονίδια που κωδικοποιούν τη λεπτή χημεία του κυττάρου, καθώς και τη μορφολογία των άκρων και των οφθαλμών. Ίσως να είναι σε θέση να προσομοιώνουν τις συνθήκες που οδήγησαν στην πρώτη ζωή, ή και άλλες μορφές ζωής που θα μπορούσαν, κατ ‘αρχήν, να υπάρχουν.

Ωστόσο υπάρχει πολύς δρόμος για να διανύσουμε πριν επιτευχθεί μια πραγματική νοήμων μηχανή. Ένας ισχυρός υπολογιστής μπορεί να είναι παγκόσμιος πρωταθλητής σκακιού, αλλά ακόμα και τα πιο προηγμένα ρομπότ δεν μπορεί να αναγνωρίσουν και να κινήσουν τα κομμάτια σε μια πραγματική σκακιέρα, συμπεριφερόμενα σαν ένα πεντάχρονο παιδί.

Ίσως στο μακρινό μέλλον η μετά-ανθρώπινη νοημοσύνη να αναπτύξει υπερ-κομπιούτερ με μια επεξεργαστική ισχύ κατάλληλη για την προσομοίωση της ζωής – ακόμη και ολόκληρου του κόσμου. Ίσως θα μπορούσε να προχωρήσει ακόμη στην προσομοίωση ενός «σύμπαντος», το οποίο θα ξεπερνά κατά πολύ τα απλά μοντέλα της ντάμας και των ειδικών εφέ σε ταινίες. Το προσομοιούμενο σύμπαν θα μπορούσε να είναι τόσο σύνθετο όπως αυτό που αντιλαμβανόμαστε ότι ζούμε μέσα του. Αυτό βέβαια μας δημιουργεί μια ανησυχητική σκέψη: ίσως αυτό να είναι και το πραγματικό σύμπαν.

Είναι συναρπαστικό να σκεφτόμαστε αν ήδη υφίστανται υπερ-ευφυή εξωγήινοι σε ορισμένα απομακρυσμένο μέρη του Σύμπαντος. Αν υπάρχουν, οι εγκέφαλοι τους θα κατανοούν την πραγματικότητα με μια μαθηματική γλώσσα που θα μπορούσε να είναι κατανοητή για εμάς ή τους απογόνους μας;

Advertisements
Κατηγορίες:Θετικές Επιστήμες
  1. Λάμπρος
    Μαρτίου 14, 2009 στο 10:57 πμ

    Αγαπητέ φίλε, λες:
    1. Μαθηματικά: Η μόνη πραγματική παγκόσμια γλώσσα.

    Από πότε τα μαθηματικά, αξιωματικά θεμελιωμένα (αναπόδεικτες αλήθειες) και με ορισμούς (ερμηνείες των εννοιών) μπορούν να παίξουν ρόλο γλώσσας; Τα μαθηματικά όλως αντιθέτως από τον ισχυρισμό σου αποτελούν ιδιαίτερη γλώσσα ακόμα και για το ίδιο τον άνθρωπο της γης κι εσύ τα αναγνωρίζεις σαν γλώσσα συμπαντική; Μου κάνει εντύπωση που άκριτα αναπαράγεις – δεν είναι δική σου η άποψη ασφαλώς ή μόνο δική σου αν το προτιμάς – μια τέτοια αντίληψη που την διατυπώνουν μαθηματικοί για να αναβαθμίσουν το ρόλο τους μέσα στη γενική έννοια της επιστήμης στην οποία δεν ανήκουν.

    2. Τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης για χιλιάδες χρόνια, και είναι εξαιρετικά επιτυχημένη.

    Καλέ τι μας λες, καλέ τι μας λες. Μπορείς να φέρεις ένα μαθηματικό επιστημονικό παράδειγμα π.χ. από την εποχή του Πυθαγόρα ή του Ευκλείδη και σαν επιστημονικό εννοώ την εφαρμογή μιας μαθηματικής συλλογιστικής στη φύση και την πειραματική απόδειξή της;

    3. Μπορούν δε τα μαθηματικά να δείξουν και τον δρόμο προς νέες ανακαλύψεις στη φυσική.

    Γιατί έχουν δείξει και παλιότερες ανακαλύψεις για να δείξουν και νέες; Τι είναι αυτά που ισχυρίζεσαι φίλε μου; Δεν έχεις ακούσει ότι τα μαθηματικά λειτουργούν «αφαιρετικά της φύσης» ώστε να μπορούν να σταθούν και χωρίς πειραματική επαλήθευση, που είναι το χρησιμότερο εργαλείο για τη φυσική επιστήμη προκειμένου να οδηγηθεί σε ασφαλείς συμπερασμούς;

    Δεν επιθυμώ αγαπητέ φίλε Δημήτρη να με αναγνωρίσεις σαν αντίπαλο (δεν είναι αντίπαλος όποιος έχει μια άλλη άποψη), αλλά αν έχεις διάθεση για εποικοδομητική συζήτηση με αφορμή το άρθρο σου και για να ξέρουμε τι λέμε, θα σε παρακαλέσω να μου πεις τι χαρακτηριστικά γνωρίσματα λογισμού και πράξης, αναγνωρίζεις σαν επιστήμη και εντάσεις τα μαθηματικά σε αυτόν το όρο;

  2. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Μαρτίου 15, 2009 στο 10:30 πμ

    Χαίρεται..

    Φυσικά και δεν σε θεωρώ εχθρό μου ή αντίπαλο ή οτιδήποτε άλλο και χαίρομαι που με σχολιάζεις..

    Το νόημα της συγκεκριμένης ανάρτησης είναι το εξής. Στον κόσμο μας, υπάρχουν περίπου 6000 γλώσσες που μιλιούνται, σύμφωνα με τον ΟΗΕ. Όμως τα σύμβολα των μαθηματικών, οι αριθμοί, οι έννοιες είναι παντού οι ίδιοι. Κατά καιρούς, έχω ακούσει αρκετά παραδείγματα επιστημόνων που μέσω των μαθηματικών εντόπισαν κάποια «ανωμαλία» στο συλλογισμό τους και έτσι αναζήτησαν την λύση του προβλήματος αυτού, στην βελτίωση του φυσικού μοντέλου που είχαν δημιουργήσει.. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, αυτό του Paul Dirac με την αντιύλη.. Όπως και να έχει όμως, για να πω την αλήθεια, η μεγάλη μου αγάπη είναι η φυσική και όχι τα μαθηματικά, αυτό όμως δεν σημαίνει πως αναγνωρίζω κάποιες αλήθειες. Το ότι δηλαδή τα μαθηματικά στα χέρια του φυσικού είναι το ισχυρότερο εργαλείο.Και μέχρι εκεί. Τέλος, τα μαθηματικά μπορεί να είναι αξιωματικά θεμελιωμένα, παρ όλα αυτά, καθώς τα χρησιμοποιούμε, δίνουν αποτελέσματα ρεαλιστικά και χειροπιαστά. Γιατί λοιπόν να μην τα θεωρήσουμε αξιόπιστα;

    Αλήθεια, τόσο πολύ σε προσέβαλα και πήρες φόρα; θα χαρώ να δω απάντησή σου..

  3. aplos1
    Μαρτίου 15, 2009 στο 12:48 μμ

    Απλά άλλαξα όνομα. Είμαι ο Λάμπρος που σου απάντησα.

    Αγαπητέ φίλε Δημήτρη θα σου απαντήσω και τώρα, πρώτα στην απορία σου:
    «Αλήθεια, τόσο πολύ σε προσέβαλα και πήρες φόρα; Θα χαρώ να δω απάντησή σου..»

    Καλέ μου φίλε, το θέμα δεν είναι προσωπικό. Τίποτα δεν έκανες απολύτως που να αποτελεί προσβολή για μένα, όμως και να με πρόσβαλες προσωπικά – από κάποια παρανόηση των όσων λέω – σε βεβαιώνω δεν θα θύμωνα μαζί σου. Με αυτό που θυμώνω, είναι οι απόψεις που με κάθε μέσο προσπαθούν να περάσουν στους νέους σαν εσένα οι μαθηματικοί για την αξία των μαθηματικών. Αυτά που υποστηρίζεις (π.χ. για συμπαντική γλώσσα) δεν είναι δικές σου απόψεις, αλλά απόψεις που κυκλοφορούν οι ίδιοι οι μαθηματικοί σε μόνιμη βάση. Π.χ. στη φύση δεν ισχύει το 1-1=0, διότι δεν υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί, που εισήχθησαν στα μαθηματικά μαζί με την έννοια του μηδενός από την Ασία σαν τα περσικά χαλιά, μερικού αιώνες πριν. Οι αρχαίοι Έλληνες, ούτε αρνητικούς αριθμούς είχαν, ούτε μηδέν γνώριζαν. Αυτό το αναφέρω για να δημιουργήσω ένα ρήγμα σχετικά με τη θεμελιωμένη άποψή σου ότι τα μαθηματικά αποτελούν εργαλείο και μάλιστα ισχυρό για την όποια επιστήμη μεταξύ των οποίων και η φυσική. Πως θα συνεννοηθεί μέσω των μαθηματικών ένας εξωγήινος με έναν γήινο, όταν στη φύση δεν υπάρχει αρνητικός αριθμός και είναι αφύσικο στο να οδηγηθούμε σε μηδενισμό του οτιδήποτε μπορεί να εκφράζει από άποψη φυσικής – υπαρκτής «ποσότητας» το 1; Θα πρέπει να μάθει ινδικά πρώτα ο εξωγήινος για να δει πως εισάγονται οι αρνητικοί αριθμοί και η έννοια του μηδενός; Δεν βλέπεις την υπέρβαση της άποψης;

    Λες: Όπως και να έχει όμως, για να πω την αλήθεια, η μεγάλη μου αγάπη είναι η φυσική και όχι τα μαθηματικά, αυτό όμως δεν σημαίνει πως αναγνωρίζω κάποιες αλήθειες.

    Χαίρομαι για την αγάπη σου που έχει και αυτή τα τρωτά της (εξαιτίας των μαθηματικών κυρίως), αλλά λυπάμαι που αναγνωρίζεις σαν αλήθειες περί τα μαθηματικά, αυτές που άλλοι αναγνωρίζουν σαν αλήθειες και αυτό σου αφαιρεί σε μεγάλο βαθμό την ευκαιρία να αναζητήσεις την πραγματική αλήθεια. Η πραγματική αλήθεια την οποία αναζητεί η φυσική με τον πειραματισμό, είναι διαφορετική από την πραγματική αλήθεια των μαθηματικών που δεν «πειραματίζονται» αλλά το «αληθές» τους το αξιώνουν.

    Λες: Το ότι δηλαδή τα μαθηματικά στα χέρια του φυσικού είναι το ισχυρότερο εργαλείο. Και μέχρι εκεί. Τέλος, τα μαθηματικά μπορεί να είναι αξιωματικά θεμελιωμένα, παρ όλα αυτά, καθώς τα χρησιμοποιούμε, δίνουν αποτελέσματα ρεαλιστικά και χειροπιαστά. Γιατί λοιπόν να μην τα θεωρήσουμε αξιόπιστα;

    Θα σου πω. Μου δίνεις καλέ μου φίλε (κάνω κατάχρηση του όρου «φίλε» γιατί είμαι 62 ετών και πιστεύω ότι με τιμά η φιλία ενός νεαρού σαν εσένα, αντί να τον τιμώ εγώ) μια καλή ευκαιρία να σου ανατρέψω αμφότερους τους συλλογισμούς περί φυσικής και μαθηματικών, εξαιτίας των μαθηματικών και όχι της φυσικής. Η ευθύνη των φυσικών ευρίσκεται στην άφεση. Έχουν αφεθεί όπως εσύ καλέ μου φίλε, στην αποδοχή της άποψης ότι τα μαθηματικά είναι ισχυρό εργαλείο. Δεν είναι. Παραπλανητικό εργαλείο είναι. Ακόμα και να μη συμφωνήσουμε στο τέλος, είμαι βέβαιος ότι εσύ θα έχεις γνωστικό όφελος απλά και μόνο με τη διαπίστωση ότι είναι ΔΙΚΑΙΩΜΑ ΣΟΥ η αμφισβήτηση αφ` ενός και ότι δεν πρέπει να αφήνεις άλλους να σκέφτονται για σένα αφ` ετέρου. Επιπλέον θα συνειδητοποιήσεις, ότι η αναφορά σε βαρύγδουπα ονόματα δεν συνεπάγεται ότι οι άνθρωποι που τα φέρουν, είναι εξαιτίας του ονόματος πάπες και δεν δέχονται κριτική οι απόψεις τους. Αυτό θα επιχειρήσω ενδεικτικά.

    Σχετικά με τα μαθηματικά και τη φυσική, διαπίστωση των μαθηματικών σαν ικανό εργαλείο που όπως λες «δίνουν αποτελέσματα ρεαλιστικά και χειροπιαστά». Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.

    Μαθηματικά δεδομένα:
    Έστω ότι ένας αρχιτέκτονας θέλει να πλακοστρώσει μία επίπεδη επιφάνεια 5Χ5=25 τ.μ., με πλακάκια 1 τ.μ. το καθένα, σε χρήση των μαθηματικών προβλέψεων.
    Ελπίζω να κατανοείς ότι εφαρμόζουμε, σε αυτή την περίπτωση, τα μαθηματικά στη φύση της οποίας η επιστήμη είναι η φυσική.

    Πρόβλημα: Να υποδειχθεί σε εφαρμογή του μαθηματικού τύπου εμβαδών 5μΧ5μ = 25 τ.μ., πλακόστρωση επιπέδου 5Χ5, όταν μας δίδονται προς τούτο 25 πλακάκια 1 τ.μ. το καθένα (ρεαλιστικό – χειροπιαστό αποτέλεσμα).

    Βοηθήματα:
    1. Ιστοσελίδα καθηγητή μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης κυρίου Πάρη Πάμφιλου: http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/Geo2000.pdf
    Θα πας στην εργασία του Ευκλείδεια γεωμετρία, στη σελίδα 74 και στο κεφάλαιο ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ.
    2. Εργασία δημοσιευμένη στην ιστοσελίδα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, της καθηγήτριας μαθηματικών κυρίας Μαλβίνας Παπαδάκη M.Sc. του Μαθηματικού Illinois, Urbana ─ Καθηγήτρια του Πειραματικού Σχολείου του Πανεπιστημίου Αθηνών, με θέμα τις ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ, την οποία ο κύριος Πάμφιλος έχει εκ των υστέρων αντιγράψει: http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2020&sr=on

    Αγαπητέ φίλε Δημήτρη, θα ήθελα να μου πεις αν θεωρείς εφικτή στην πράξη την εφαρμογή που κάνουν οι κύριοι καθηγητές και προς διαπίστωση του ρεαλιστικού – χειροπιαστού αποτελέσματος, αν ο αρχιτέκτονας ακολουθήσει αυτή την εφαρμογή θα κάνει την προτεινόμενη πλακόστρωση του επιπέδου που θέλει.

    Να είσαι καλά και τώρα περιμένω εγώ την απάντησή σου.

  4. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Μαρτίου 15, 2009 στο 4:41 μμ

    χμ…η αλήθεια είναι πως η προσέγγισή σας στο ζήτημα, (αν και στη γλώσσα του ίντερνετ δεν συνηθίζεται, εγώ θέλω να χρησιμοποιήσω πληθυντικό), είναι όντως πολύ διαφορετική σε σχέση με την κοινώς παραδεκτή άποψη, και γι αυτό πραγματικά χαίρομαι την συζήτηση αυτή. Μελέτησα τα λινκ που έλαβα, κάθισα και το σκέφτηκα για λίγο το θέμα και κατέληξα στο εξής συμπέρασμα. Συμφωνώ περί αποδεικτικής αυθαιρεσίας της επιστήμης των μαθηματικών, καθώς και ότι στη φύση δεν υπάρχουν αρνητικές ποσότητες. Φυσικά και δεν μπορούμε να κρατήσουμε στο χέρι μας -1 μήλο. Όμως. Με τη χρήση του αρνητικού προσήμου προσδίδουμε στα μεγέθη τη διάσταση του χώρου. Χωρίς αρνητικό πρόσημο, έννοιες όπως τα διανύσματα δεν θα είχαν νόημα ύπαρξης. Ούτε οι διανυσματικές πράξεις θα υπήρχαν. Και πολλά άλλα παρόμοια παραδείγματα. Τι λύση θα δίνατε σε αυτά τα προβλήματα;

    Σε ένα σώμα ασκούνται 2 δυνάμεις. Μια με μέτρο 10Ν προς τα αριστερά και μια άλλη μέτρου 5Ν προς τα δεξιά. Με την διανυσματική πρόσθεση των 2 δυνάμεων, υπολογίζουμε πως αν τις αντικαθιστούσαμε με μια άλλη δύναμη F=-5Ν (προς τα αριστερά) θα είχαμε τα ίδια αποτελέσματα. Αναπαράγουμε λοιπόν αυτές τις συνθήκες στο εργαστήριό μας και όντως βλέπουμε πως οι «προβλέψεις» μας επαληθεύονται. Ως μέγεθος η δύναμη δεν μπορεί να έχει αρνητικό μέτρο, κι όμως εμείς την αφαιρέσαμε από την αντίρροπη της και καταλήξαμε σε αρνητικό αποτέλεσμα. Αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα πως αποδεχόμαστε ότι μπορεί να υπάρξει στη φύση μέτρο δύναμης με αρνητική τιμή, αλλά απλά ότι η δύναμη αυτή έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτή που ορίσαμε εμείς ως θετική. Με αυτή τη λογική, η πράξη 1-1=0 έχει νόημα, άσχετα αν δεν υπάρχουν αρνητικές ποσότητες στη φύση. Είναι απλά ένας συμβολισμός.

    Δεν ξέρω αν αυτό είναι εφικτό, αλλά θα χαιρόμουν αν έπαιρνα ένα μέιλ με τις απόψεις σας πάνω στο θέμα, οργανωμένες με λογική διαδοχή γιατί εδώ στα σχόλια, με τις ερωταπαντήσεις, είναι λίγο δύσκολο να καταλάβω τον συλλογισμό σας από τη ρίζα του, και συνεπώς, δεν είμαι σε θέση να διαμορφώσω σωστή εικόνα. Στη συνέχεια μπορώ να το δημοσιεύσω ή να μιλήσω για αυτό το θέμα στην ηλεκτρονική μου «ραδιοφωνική εκπομπή» (podcast)…

    Απ’ ότι κατάλαβα είστε φυσικός, έτσι δεν είναι; Τι γνώμη έχετε για την θεωρητική φυσική που δεν βασίζεται στην παρατήρηση αλλά σε εικασίες που συνθέτονται από υποθέσεις βασισμένες σε παρατηρήσεις ή γνωστά φυσικά φαινόμενα;

  5. aplos1
    Μαρτίου 16, 2009 στο 10:50 πμ

    Αγαπητέ φίλε Δημήτρη, το θέμα που μας απασχολεί είναι αν όντως τα μαθηματικά μπορούν να είναι μία παγκόσμια γλώσσα και ίσως και συμπαντική, αν εισάγουμε αθροιστικά γλώσσες εξωγήινων στις 600 που αναφέρθηκες. Δεν είναι φίλε μου, διότι δεν μπορούν να είναι ούτε παγκόσμια. Οι αιτίες είναι απλές. Τα μαθηματικά έχουν δική τους φιλοσοφία και δικό τους λεξικό που ακούει στο όνομα ορισμοί. Κάθε έννοια που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά είναι δεκτική ερμηνείας με ορισμούς, δηλαδή προσπάθεια λεκτικής – γλωσσικής ανάλυσης με άλλες απλούστερες έννοιες. Αυτό συνεπάγεται ότι οι μαθηματικές έννοιες χρήζουν πριν από όλα επαρκή κατοχή της γλώσσας με την οποία γίνεται η ανάλυση των εννοιών μέσω των ορισμών, που σημαίνει ότι πριν κανείς μάθει τι σημαίνει κάθε έννοια σε κάθε γλώσσα, απαιτείται η κατοχή της γλώσσας που είναι διατυπωμένοι οι όροι ή ακριβής μετάφραση. Τα σχήματα θα μπορούσαν να αποτελέσουν κοινή γλώσσα αλλά δεν αρκούν.
    Φίλε Δημήτρη είμαι στη διάθεσή σου για όποια άλλη συζήτηση αλλά δεν πρέπει να ξεφεύγουμε από το θέμα που έχεις εισάγει γιατί επί αυτού σου απάντησα.
    Είμαι αυτός που διατυπώνει τις απόψεις και το τι είμαι από άποψη εξειδίκευσης φρονώ δεν παίζει ρόλο. Χωρίς να γνωρίζεις τι είμαι η αντιμετώπιση των ισχυρισμών μου θα είναι πιο αντικειμενική διότι δεν μπορείς να αποδώσεις συντεχνιακή σκοπιμότητα στα όσα λέω.
    Τέλος θέλω να σου απαντήσω σχετικά με το ερώτημά σου περί θεωρητικής φυσικής «που δεν βασίζεται στην παρατήρηση αλλά σε εικασίες που συνθέτονται από υποθέσεις βασισμένες σε παρατηρήσεις ή γνωστά φυσικά φαινόμενα».
    Ασφαλώς αναφέρεσαι στην μετά τη διατύπωση της θεωρία της σχετικότητας εποχή, εποχή που την ονομάζουμε «σύγχρονη επιστημονική αντίληψη περί φυσικής» αν και ήδη έχει χάσει το χαρακτηριστικό του σύγχρονου. Με λίγα λόγια οι αντιλήψεις μου είναι υπέρ της κλασικής μηχανικής και θεωρώ τη θεωρία της σχετικότητας ένα αόριστο επινόημα, χωρίς καμία πειραματική βεβαίωση. Το όλον περί αυτή τη θεωρία στηρίζεται σε μία εσφαλμένη αντίληψη στον τομέα της φυσικής, όχι όμως της μηχανικής, αλλά της οπτικής. Ακόμα και η φύση του φωτός αν είναι σωματική, κυματική ή συνδυαστική αμφοτέρων δεν συμμετέχει στο όλο σφάλμα περί αυτή τη θεωρία. Η δυνατότητα ύπαρξης αντίληψης περί χωροχρόνου ή χώρου 4 διαστάσεων των Μινκόφσκι – Αϊνστάιν είναι καθαρά θέμα λειτουργίας της όρασης. Ελπίζω να μας δοθεί η ευκαιρία να τα πούμε σχετικά με αυτή την εξαιρετική επιστήμη που εμπεριέχει και τη θεωρία της σχετικότητας με επίκληση μάλιστα των μαθηματικών για να βεβαιώσουν την αλήθεια που θέλουν να προβάλουν (βλέπε μετασχηματισμός του Λόρεντζ).
    Να είσαι καλά και περιμένω την απάντησή σου εάν εξακολουθείς να έχεις την άποψή ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι μία παγκόσμια γλώσσα.

  6. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Μαρτίου 18, 2009 στο 11:21 μμ

    Συγγνώμη για την καθυστέρηση της απάντησης αλλά ήμουν εκτός βόλου και δεν είχα πρόσβαση στο διαδίκτυο… λοιπόν.

    Πιστεύω πως δεν σταθήκατε στο νόημα της δημοσίευσης αλλά στις λέξεις που την συνθέτουν. Το νόημα της δημοσίευσης αυτής ήταν πως τα μαθηματικά και κατ’επέκταση οι φυσικές επιστήμες, είναι κοινές σε όλο το σύμπαν, αφού, τουλάχιστον απ’όσο ξέρουμε, τα ίδια φαινόμενα συμβαίνουν σε όλη την έκτασή του. Θα μπορούσαν λοιπόν να παίξουν το ρόλο της γλώσσας για συνεννόηση με ξένους πολιτισμούς. Με την δημοσίευση λοιπόν αυτή θέλω να τονίσω το μεγαλείο της επιστήμης, κι όχι να προτείνω ποια γλώσσα θα χρησιμοποιήσουμε για να επικοινωνήσουμε με εξωγήινους. Της επιστήμης αυτής που έχουμε κατακτήσει στο βάθος των αιώνων και η οποία μιλάει τη γλώσσα της αλήθειας και της λογικής. Ελπίζω με αυτό, να λύνω την «διαφωνία», και είμαι σίγουρος αν και η επικοινωνία μας είναι σύντομη, πως τελικά θα συμφωνήσουμε..

  7. aplos1
    Μαρτίου 19, 2009 στο 11:58 πμ

    Αγαπητέ Δημήτρη λες: Με την δημοσίευση λοιπόν αυτή θέλω να τονίσω το μεγαλείο της επιστήμης, κι όχι να προτείνω ποια γλώσσα θα χρησιμοποιήσουμε για να επικοινωνήσουμε με εξωγήινους. Της επιστήμης αυτής που έχουμε κατακτήσει στο βάθος των αιώνων και η οποία μιλάει τη γλώσσα της αλήθειας και της λογικής. Ελπίζω με αυτό, να λύνω την “διαφωνία”, και είμαι σίγουρος αν και η επικοινωνία μας είναι σύντομη, πως τελικά θα συμφωνήσουμε..

    Αυτό ακριβώς έχω κατανοήσει κι εγώ και προς τούτο σου απάντησα. Δεν βλέπω κανένα μεγαλείο εκεί που το βλέπεις εσύ. Ιδίως στα μαθηματικά που δεν είναι επιστήμη. Από μόνα τους – δηλαδή με διαχρονική ευθύνη των διακόνων τους – έχουν απολέσει κάθε χαρακτηριστικό της επιστήμης, αφού και δική τους φιλοσοφία έχουν και δεν ζητούν το αληθές παρά μόνο σαν μία εσωτερική συνέπεια με τα θετά (όχι φυσικά) αξιώματα και τους θετούς όρους (ερμηνείες των εννοιών) που χρησιμοποιούν. Θα σου συνιστούσα το βιβλίο «Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟΝ ΚΑΝΤ» του καθηγητή κυρίου Αναπολιτάνου. Μπορείς να το βρεις σε κάθε βιβλιοπωλείο να δεις τη διαδρομή των μαθηματικών. Αυτό όμως δεν αρκεί σχετικά με τα μαθηματικά. Αληθές ή ψευδές για τα μαθηματικά αγαπητέ μου φίλε Δημήτρη, είναι το σύμφωνο με τα θετά αξιώματα και όχι το σύμφωνο με τη φύση. Κανένα μεγαλείο που να σχετίζεται με τη γλώσσα της αλήθειας από μια επινοημένη γλώσσα συγκεκριμένων προδιαγραφών, ούτε βέβαια με τη λογική. ΚΑΜΙΑ ΣΧΕΣΗ. Παράδειγμα αποτελεί το πυθαγόρειο θεώρημα, που πλέον αφύσικο και μη ισχύον στη φύση δεν υπάρχει και αποτέλεσμα του οποίου είναι η εμφάνιση άρρητων φυσικών μεγεθών και άρρητων αριθμών.
    Μπορεί να μην το γνωρίζεις, όμως το πυθαγόρειο θεώρημα δεν ισχύει στη φύση ή στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία, ούτε βέβαια προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων με την έννοια της ένωσης σχημάτων. Και όμως το πυθαγόρειο, που αποκρύπτουν επιμελώς οι μαθηματικοί (με αιτία τη συντεχνία) ότι δεν ισχύει σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, μη αναγνωρίζοντας επίσημα μέχρι σήμερα την ύπαρξη εξαιρέσεων στην ορθότητά του (και αναφέρονται μόνο στις υπάρχουσες αποδείξεις που ξεπερνούν τις 500 και είναι όλες λάθος) δεσπόζει εδώ και 2700 χρόνια στα μαθηματικά και τα αποτελέσματά του είναι αποτυπωμένα και στα σύγχρονα μαθηματικά αφού στον άξονα R (πραγματικοί αριθμοί) οι άρρητοι αριθμοί εκ των τετραγώνων και κύβων κ.τ.λ. κατέχουν σημαντική θέση στη διάταξη του.
    Που είδες το μεγαλείο λοιπόν; Ούτε στη γλώσσα, ούτε στην ιδιαίτερη φιλοσοφία τους, ούτε στην λογική που αναφέρεσαι, έχουν πέρα από την υποκειμενική αυθαιρεσία κάποια ένδειξη μεγαλείου. Μόνο μεγαλείο αυθαιρεσίας μπορώ να διακρίνω και την υποκριτική στάση των μαθηματικών, που προσπαθεί να συγκαλύψει το ανεφάρμοστο τους στη φύση, μάλιστα από το μη προβλεπόμενο αξιωματικά, περίφημο «αφαιρετικά της φύσης».
    Αν ανταποκρίνομαι στην διαλεκτική σου αγαπητέ φίλε Δημήτρη, είναι γιατί μου κάνει εντύπωση το νεαρό της ηλικίας σου σε σχέση με τα ενδιαφέροντά σου και η διακριτή μαχητικότητά σου που με ενθουσιάζει. Από νέους σαν εσένα, όταν αντιληφθούν την πραγματικότητα, τα μαθηματικά θα περάσουν δύσκολες ώρες στο μέλλον, προς τελικό όφελός τους.
    Να είσαι καλά και είμαι στη διάθεσή σου.

  8. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Μαρτίου 19, 2009 στο 1:45 μμ

    Και πάλι δεν έχετε πιάσει το νόημα αλλά εντάξει.. Θαρρώ δεν θα καταλήξει πουθενά αυτή η κουβέντα. Προσκόμισα αρκετά πράγματα από τα προηγούμενα σχόλια, άλλα τα απέρριψα, αλλά αυτός είναι ο σωστός διάλογος. Το νεαρό της ηλικίας μου είναι αρκετά μεγάλο για να μην με παρασύρει σε επιπόλαιους εντυπωσιασμούς.. Αυτά για την ώρα. Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και ελπίζω να υπάρχει και κανένα άλλο ενδιαφέρον θέμα, άξιο συζήτησης σε αυτό το ιστολόγιο…

  9. aplos1
    Μαρτίου 19, 2009 στο 1:59 μμ

    Το ελπίζω κι εγώ

  10. paris
    Απρίλιος 2, 2009 στο 4:09 μμ

    Τα μαθηματικά μας δινουν τα εφόδια για να κατανοήσουμε και να περιγράψουμε τη φύση. «Στη φύση δεν ισχύει το 1-1=0»
    Μπορεί να μην ισχύει στη φύση, αλλα το μηδεν είναι η απάντηση στο βασικό ερώτημα: «πόσα μήλα έχεις;», στην περίπτωση που δεν έχεις μήλα. Με την ίδια λογική δεν ισχύει και το 1+1=2 γιατί στη φύση δεν υπάρχει ένα μήλο πανομοιότυπο με ένα άλλο. Αν όμως κάνουμε κοινά αποδεκτό το τί είναι ένα μήλο αποκτάμε το χρήσιμο εργαλείο 2.

    Ψάξε περι χρυσής πλάκας pioneer για να δεις σχετικά με κώδικες επικοινωνίας με εξωγήινους που έχουν χρησιμοποιηθεί
    http://www.google.com/search?q=pioneer+plaque

  11. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Απρίλιος 3, 2009 στο 2:09 μμ

    σωστός…με βρίσκεις σύμφωνο σε όλα…

  12. Λάμπρος
    Απρίλιος 15, 2009 στο 7:15 μμ

    Να με συγχωρείτε για την καθυστέρηση, ήμουνα εκτός Ελλάδας.

    [Paris
    • Τα μαθηματικά μας δινουν τα εφόδια για να κατανοήσουμε και να περιγράψουμε τη φύση. “Στη φύση δεν ισχύει το 1-1=0″
    Μπορεί να μην ισχύει στη φύση, αλλα το μηδεν είναι η απάντηση στο βασικό ερώτημα: “πόσα μήλα έχεις;”, στην περίπτωση που δεν έχεις μήλα. Με την ίδια λογική δεν ισχύει και το 1+1=2 γιατί στη φύση δεν υπάρχει ένα μήλο πανομοιότυπο με ένα άλλο. Αν όμως κάνουμε κοινά αποδεκτό το τί είναι ένα μήλο αποκτάμε το χρήσιμο εργαλείο 2.]

    Το μηδέν αγαπητέ φίλε Paris «μπήκε στη ζωή» των μαθηματικών περί τα μέσα της χιλιετίας 1000 – 2000 από τους ασιάτες, όπως τα χαλιά από την Περσία. Λες οι αρχαίοι Έλληνες που δεν γνώριζαν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς να μη μπορούσαν να βρουν άκρη με τα μήλα; Τι αστεία πράγματα είναι αυτά; Εξάλλου ακόμα και σήμερα στους φυσικούς αριθμούς σε άλλες περιπτώσεις αναγνωρίζεται το μηδέν σαν αριθμός και σε άλλες όχι. Στην περίπτωση λοιπόν που κάποιος με ρωτήσει πόσα μήλα έχω και εγώ δεν έχω μήλα, θα του απαντήσω δεν έχω μήλα και όχι έχω μηδέν μήλα!
    Είμαι περίεργος να μου πεις τι πρέπει να κάνω αποδεκτό σαν «ένα μήλο» ώστε να αποκτήσω το χρήσιμο εργαλείο 2! Ξέρεις τι είναι μονάδα ή ένα; Ξέρεις τι είναι 2 ή όποιος άλλος αριθμός πλήθους και σε τι διαφέρει από την μονάδα;

    [Paris
    Ψάξε περι χρυσής πλάκας pioneer για να δεις σχετικά με κώδικες επικοινωνίας με εξωγήινους που έχουν χρησιμοποιηθεί
    http://www.google.com/search?q=pioneer+plaque%5D

    Μάλλον εσύ πρέπει να ψάξεις τι σημαίνει 1 και τι σημαίνει 2 γιατί αν δεν μπορούμε να συνεννοηθούμε μεταξύ μας οι γήινοι, δεν βρίσκεις λίγο υπεραισιόδοξο να φιλοδοξούμε συνεννόηση με τους εξωγήινους;

    [Δημήτρης
    σωστός…με βρίσκεις σύμφωνο σε όλα…]

    Οπότε αγαπητέ φίλε Δημήτρη το θέμα με σένα, είναι να βρεις κάποιον να συμφωνείς; Αφού συμφωνείς σε όλα με τον φίλο Paris γιατί δεν τα έλεγες εσύ αυτά που λέει και περίμενες να τα πει άλλος για σένα; Δεν βλέπεις ότι ο φίλος μας δεν έχει ιδίαν αντίληψη περί μαθηματικών και επιχειρηματολογεί με τρόπο που δημιουργεί μειδίαμα;

  13. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Απρίλιος 16, 2009 στο 6:34 μμ

    Δεν μπορώ να καταλάβω ποια είναι η αιτία που παθιάζεσαι τόσο και στέκεσαι στην τελεία ( . ) που λέει ο καθένας και προσπαθείς να βρεις το λάθος. Για άλλο λόγο έγραψα τη δημοσίευση, για άλλα συζητάμε και πάει λέγοντας.

  14. Λάμπρος
    Απρίλιος 17, 2009 στο 11:07 πμ

    Αν θυμάσαι φίλε μου Δημήτρη, εσύ έκλεισες το θέμα και όχι εγώ. Τώρα το ανοίγεις έμμεσα, επειδή εμφανίστηκε κάποιος που δεν ξέρει τι λέει και συμφωνείς μαζί του επειδή διαφωνεί μαζί μου. Και εσύ φρονώ την ίδια αντίδραση θα είχες με μένα και ελπίζω να με δικαιολογήσεις γιατί ειλικρινά μου είσαι συμπαθής. Καλές γιορτές.

  15. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Απρίλιος 17, 2009 στο 7:05 μμ

    Είναι αλήθεια πως εγώ το έκλεισα και ζητώ συγγνώμη για αυτό. Δεν είναι ότι δεν θέλω διάλογο, ούτε είμαι ξεροκέφαλος. Απλά άκουσα τις απόψεις όλων τις επεξεργάστηκα, κράτησα κάποια πράγματα και απέρριψα άλλα. Απλά αν συνεχίζαμε δεν θα καταλήγαμε πουθενά και ίσως ερχόμασταν σε ρήξη. Δεν είναι ότι θέλω να σε πολεμήσω και γι αυτό συμφωνώ με τον paris, άλλωστε αν συνέβαινε αυτό θα ήμουν πίθηκος. Απλά συμφωνώ με αυτά που λέει.

  16. paris
    Απρίλιος 18, 2009 στο 12:13 πμ

    Για να επανέλθω στο θέμα…
    [Είναι συναρπαστικό να σκεφτόμαστε αν ήδη υφίστανται υπερ-ευφυή εξωγήινοι σε ορισμένα απομακρυσμένο μέρη του Σύμπαντος. Αν υπάρχουν, οι εγκέφαλοι τους θα κατανοούν την πραγματικότητα με μια μαθηματική γλώσσα που θα μπορούσε να είναι κατανοητή για εμάς ή τους απογόνους μας;]

    Τα μαθηματικά εξελίχθηκαν αρχικά έτσι ώστε να περιγράφουν το φυσικό μας κόσμο. Σίγουρα βασίζονται σε αυθαίρετα αξιώματα, τα οποία έχουμε δεχτεί γιατι φαίνεται πως η χρήση τους δεν παραβιάζει αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας.
    Δεχόμαστε πχ. οτι δύο παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται. Εστω οτι στεκόμαστε πάνω σε σιδηροδρομική γραμμή και κοιτάμε τον ορίζοντα. Οι αισθήσεις μας μας λένε οτι οι δύο σιδηροτροχιές συναντιούνται κάπου μακριά, αν όμως περπατήσουμε κατα μήκος της γραμμής θα δούμε οτι οι τροχιές είναι όντως παράλληλες.
    Ας υποθέσουμε οτι στο ίδιο σημείο στέκεται ένα όν χωρίς δυνατότητα μετακίνησης. Για το ον αυτό οι παράλληλες ευθείες συναντιούνται σύμφωνα με τις αισθήσεις του. Προφανώς η γεωμετρία την οποία θα είχαν αναπτύξει τα υποτιθέμενα όντα για να αντιλαμβάνονται τον κόσμο γύρω τους θα βασιζόταν σε διαφορετικά αξιώματα και συνεπώς θα διέφερε κατα πολύ απο αυτήν των αρχαίων ελλήνων.

    Στη δική μας φωτεινή γωνιά του σύμπαντος χρησιμοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς για να αριθμήσουμε διακριτές ποσότητες αντικειμένων. Το ερώτημα που γεννάται είναι: Σε αυτό το απομακρυσμένο σημείο του σύμπαντος, μπορούν οι υπερευφυείς εξωγήινοι να μετρήσουν μήλα; Με άλλα λόγια, είναι οι φυσικοί αριθμοί συμπαντικοί; Ας υποθέσουμε οτι σε αυτή τη σκοτεινή γωνιά του σύμπαντος δεν υπάρχουν μετρήσιμες ποσότητες. Τα αντικείμενα τείνουν να μεταβάλλονται συνεχώς στη μορφή και τον αριθμό. Δεν υπάρχουν συνεπώς διακριτά αντικείμενα που να μπορούν να μετρηθούν. Ακόμη, μπορούμε να φανταστούμε έναν κόσμο που αποτελείται εξολοκλήρου απο μια άμορφη ουσία. Και μόνο η σκέψη αριθμητικής ποσοτικοποίησης φαίνεται μη εφαρμόσιμη. Σίγουρα οι κάτοικοι του υποθετικού αυτού κόσμου θα έβρισκαν τη γήινη σύλληψη των φυσικών αριθμών λιγο ή πολύ ακαταλαβίστικη. Σύμφωνα με τον Καντόρ το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί με υλικά το τίποτα και τη θεωρία συνόλων. Έστω το κενό σύνολο ∅ = { }. Αντιστοιχούμε το σύνολο ∅ στον αριθμό 0. Προχωρόντας μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον αριθμό 1 στο σύνολο {∅}. Ανάλογα: 2 -> {∅,{∅}}, 3-> {∅,{∅},{∅,{∅}}} ,κοκ.
    Μπορούμε δηλαδή να κατασκευάσουμε νοητικά το σύνολο των φυσικών αριθμών καθαρά μαθηματικώς, χωρίς δηλαδή να αξιοποιήσουμε πληροφορίες σχετικά με τη μορφή ή τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του σύμπαντός μας.
    Τα συμπεράσματα δικά σας

  17. Λάμπρος
    Απρίλιος 18, 2009 στο 5:24 πμ

    [Δημήτρης
    Είναι αλήθεια πως εγώ το έκλεισα και ζητώ συγγνώμη για αυτό. Δεν είναι ότι δεν θέλω διάλογο, ούτε είμαι ξεροκέφαλος. Απλά άκουσα τις απόψεις όλων τις επεξεργάστηκα, κράτησα κάποια πράγματα και απέρριψα άλλα. Απλά αν συνεχίζαμε δεν θα καταλήγαμε πουθενά και ίσως ερχόμασταν σε ρήξη. Δεν είναι ότι θέλω να σε πολεμήσω και γι αυτό συμφωνώ με τον paris, άλλωστε αν συνέβαινε αυτό θα ήμουν πίθηκος. Απλά συμφωνώ με αυτά που λέει.]

    Εντάξει φίλε Δημήτρη. Είμαι συνηθισμένος στο να μη δέχονται (χωρίς επιχειρήματα) αυτά που λέω, αλλά έχω και πνευματικές κατακτήσεις στα μαθηματικά αναγνωρισμένες από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία που ισοφαρίζω τις αρνητικές στάσεις. Ασχολούμαι πολλά χρόνια με το αντικείμενο για να με βγάλει εκτός οποιοσδήποτε, πολύ δε περισσότερο ένας πρόχειρος συνομιλητής όπως είναι ο φίλος μας με τον οποίο συμφωνείς και είναι δικαίωμά σου. Θέλω κι εγώ να ζητήσω συγγνώμη για την αθέλητη ένταση που δημιουργήθηκε από την ομολογουμένως αιχμηρή αντίδρασή μου, τόσο από σένα όσο και από τον αγαπητό paris. Να με συμπαθάτε και να είσαστε πάντα καλά.
    Καλές γιορτές.

    ΥΓ: Το κείμενο αυτό το έστειλα ΠΡΙΝ την απάντηση του Paris. Ίσως ο Δημήτρης το έλαβε στο δικό του email.

  18. Λάμπρος
    Απρίλιος 18, 2009 στο 6:30 πμ

    paris
    Για να επανέλθω στο θέμα…
    [Είναι συναρπαστικό να σκεφτόμαστε αν ήδη υφίστανται υπερ-ευφυή εξωγήινοι σε ορισμένα απομακρυσμένο μέρη του Σύμπαντος. Αν υπάρχουν, οι εγκέφαλοι τους θα κατανοούν την πραγματικότητα με μια μαθηματική γλώσσα που θα μπορούσε να είναι κατανοητή για εμάς ή τους απογόνους μας;]

    Λάμπρος
    Μόνο αν είχαμε κοινή εποπτεία, κοινή εμπειρία, κοινά αξιώματα και όρους. Αλλιώς θα είχανε δικά τους μαθηματικά και επομένως αδυναμία κοινής μαθηματικής γλώσσας. Π.χ. δεν θα αρκούσε να είχαμε κοινή αντίληψη περί του ένα και των λοιπών αριθμών σύμφωνα με τους όρους του Ευκλείδη:
    Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄
    [Βιβλίον VII]
    Ὅροι κγ΄ [23].
    α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ’ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
    β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.

    Σε αυτή την περίπτωση και αν ακόμα είχαν τους όρους (ορισμούς εννοιών) του Ευκλείδη που έχουμε κι εμείς οι φίλοι εξωγήινοι, αν τους δείχναμε μισό μήλο, θα το έλεγαν ένα, διότι δεν θα είχαν ξαναδεί το ολόκληρο μήλο και την διαδικασία τμήσης του. Επομένως και η εμπειρία των φυσικών «πραγμάτων» θα έπρεπε να είναι αναγκαία κοινή για να συνεννοηθούμε.

    paris
    Τα μαθηματικά εξελίχθηκαν αρχικά έτσι ώστε να περιγράφουν το φυσικό μας κόσμο. Σίγουρα βασίζονται σε αυθαίρετα αξιώματα, τα οποία έχουμε δεχτεί γιατί φαίνεται πως η χρήση τους δεν παραβιάζει αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας.

    Λάμπρος
    Σωστό ιστορικά. Όμως αγαπητέ φίλε, πρέπει να διευκρινίσουμε τι εννοούμε εξέλιξη των μαθηματικών όταν, έχοντας ξεφύγει από τον αρχικό σκοπό και στόχο, έχουμε μαθηματικά που δεν περιγράφουν τον φυσικό μας κόσμο, αλλά την φαντασία μας. Πως θα συνεννοηθούμε με εξωγήινους όταν αυτοί θα έχουν κριτήριο τον δικό τους φυσικό κόσμο και εμείς τη φαντασία μας πέραν του δικού μας φυσικού κόσμου; Εκτός και έχουμε ταύτιση και φαντασίας μεταξύ μας, που όπως αντιλαμβάνεσαι δεν συμβαίνει ούτε και μεταξύ των γήινων! Η εξέλιξη των μαθηματικών λοιπόν στην οποία αναφέρεσαι, μετά από το στάδιο κατά το οποίο τα μαθηματικά περιγράφουν τον φυσικό κόσμο (ή προσπαθούν), όπως είναι η Ευκλείδεια πρακτική – εποπτική γεωμετρία, δεν είναι άλλο παρά η επικράτηση γνωμών από γόνιμες φαντασίες. Τι κοινό θα έχουμε με τους εξωγήινους αν θα προσπαθήσουμε να συνεννοηθούμε μαζί τους με τα «εξελιγμένα μαθηματικά» και όχι με τα μαθηματικά που περιγράφουν το φυσικό κόσμο, που ενδεχομένως να είναι και κοινός, αν εκτιμήσουμε συγχρόνως ότι αυτό δεν είναι και απίθανο λαμβάνοντας υπόψη ότι τα χημικά στοιχεία του σύμπαντος είναι κοινά ή έστω σε πολύ μεγάλο βαθμό;

    paris
    Δεχόμαστε πχ. οτι δύο παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται. Εστω οτι στεκόμαστε πάνω σε σιδηροδρομική γραμμή και κοιτάμε τον ορίζοντα. Οι αισθήσεις μας, μας λένε ότι οι δύο σιδηροτροχιές συναντιούνται κάπου μακριά, αν όμως περπατήσουμε κατά μήκος της γραμμής θα δούμε ότι οι τροχιές είναι όντως παράλληλες.

    Λάμπρος
    Διαφωνώ. Αυτό ισχύει για μας όταν έχουμε κατασκευάσει παράλληλες σιδηροτροχιές και επομένως δεν χρειάζεται κάποια μορφή απόδειξης. Το θέμα εγείρεται όταν ο παραλληλισμός έχει τέτοια έκταση μήκους που δεν μπορεί να ελεγχθεί για όλη τη διάρκεια ύπαρξης του ανθρώπου ελεγκτή επί της γης, χωρίς αυτό να συνεπάγεται καν άπειρο μήκος, αλλά όσο επιθυμούμε μεγάλο με τη φαντασία μας. Δηλαδή μήκος που είναι αδύνατο να το κατασκευάσει άνθρωπος ώστε να έχει και τη βεβαιότητα του παραλληλισμού από κατασκευή. Έτσι είμαστε υποχρεωμένοι για να στηρίξουμε την άποψη των μη τεμνόμενων παραλλήλων να αποδείξουμε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, αλλιώς θα πάμε (όπως έχουμε πάει) σε αυθαίρετο αξίωμα όπως ορθά λες για να στηρίξουμε την άποψη (όπου δεν χρειάζεται απόδειξη).

    paris
    Ας υποθέσουμε οτι στο ίδιο σημείο στέκεται ένα όν χωρίς δυνατότητα μετακίνησης. Για το ον αυτό οι παράλληλες ευθείες συναντιούνται σύμφωνα με τις αισθήσεις του. Προφανώς η γεωμετρία την οποία θα είχαν αναπτύξει τα υποτιθέμενα όντα για να αντιλαμβάνονται τον κόσμο γύρω τους θα βασιζόταν σε διαφορετικά αξιώματα και συνεπώς θα διέφερε κατα πολύ απο αυτήν των αρχαίων ελλήνων.

    Λάμπρος
    Θα κάνω λίγο χιούμορ. Αν δεν μπορούσαν να μετακινηθούν πως θα έφτιαχναν το μήκος των παράλληλων ευθειών;

    paris
    Στη δική μας φωτεινή γωνιά του σύμπαντος χρησιμοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς για να αριθμήσουμε διακριτές ποσότητες αντικειμένων. Το ερώτημα που γεννάται είναι: Σε αυτό το απομακρυσμένο σημείο του σύμπαντος, μπορούν οι υπερευφυείς εξωγήινοι να μετρήσουν μήλα;

    Λάμπρος
    Γιατί να μη μπορούν όταν είναι υπερευφυείς, έχουν κριτήριο περί του ένα και του πλήθους και έχουν μήλα (είτε τα τρώνε, είτε δεν τα τρώνε), αφού μπορούμε εμείς οι απλοί ευφυείς (που τα τρώμε επί του ασφαλούς); Τι σόι ευφυΐα θα τους αναγνωρίσουμε;

    paris
    Με άλλα λόγια, είναι οι φυσικοί αριθμοί συμπαντικοί; Ας υποθέσουμε οτι σε αυτή τη σκοτεινή γωνιά του σύμπαντος δεν υπάρχουν μετρήσιμες ποσότητες.

    Λάμπρος.
    Αλλάξεις καλέ μου φίλε τα δεδομένα του προηγούμενου ερωτήματος για να κρίνεις το προηγούμενο ερώτημα! Τα μήλα είναι μετρήσιμη «ποσότητα».

    paris
    Τα αντικείμενα τείνουν να μεταβάλλονται συνεχώς στη μορφή και τον αριθμό.

    Λάμπρος
    Η αλλαγή της μορφής ενός αντικειμένου δεν του αλλάξει την αναγνώρισή του σαν μονάδα. Ο μερισμός της μορφής του ενός αντικειμένου, που θα μπορούσε να αλλάξει τον αριθμό θα καθιστούσε απλά το ένα, πλήθος. Αν υπάρχουν κριτήρια περί το ένα και πλήθος, τότε δεν θα υπήρχε κανένα πρόβλημα στην κατανόηση και αντιστοίχηση των μορφών με φυσικούς αριθμούς. Για το λόγο αυτό ισχυρίζομαι ότι απαιτούνται κοινές εμπειρίες και όχι απλά μαθηματικά που δεν περιγράφουν το εμπειρικό (φύση).

    paris
    Δεν υπάρχουν συνεπώς διακριτά αντικείμενα που να μπορούν να μετρηθούν. Ακόμη, μπορούμε να φανταστούμε έναν κόσμο που αποτελείται εξολοκλήρου απο μια άμορφη ουσία. Και μόνο η σκέψη αριθμητικής ποσοτικοποίησης φαίνεται μη εφαρμόσιμη.

    Λάμπρος
    Τότε δεν υπάρχει ούτε και ένα, ούτε και αριθμοί σαν συγκείμενα πλήθη μονάδων (φυσικοί αριθμοί χωρίς το μηδέν). Τι μαθηματικά να κάνουμε έτσι, όταν όλα είναι ένα χαώδες αδιάκριτο «πράγμα»; Πως θα λειτουργήσει η νόηση χωρίς ερεθισμούς;

    paris
    Σίγουρα οι κάτοικοι του υποθετικού αυτού κόσμου θα έβρισκαν τη γήινη σύλληψη των φυσικών αριθμών λίγο ή πολύ ακαταλαβίστικη.

    Λάμπρος
    Με μπερδεύεις ή μπερδεύεσαι. Αν υπάρχουν κάτοικοι, υπάρχουν και φυσικοί αριθμοί!

    paris
    Σύμφωνα με τον Καντόρ το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί με υλικά το τίποτα και τη θεωρία συνόλων. Έστω το κενό σύνολο ∅ = { }. Αντιστοιχούμε το σύνολο ∅ στον αριθμό 0. Προχωρόντας μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον αριθμό 1 στο σύνολο {∅}. Ανάλογα: 2 -> {∅,{∅}}, 3-> {∅,{∅},{∅,{∅}}} ,κοκ.
    Μπορούμε δηλαδή να κατασκευάσουμε νοητικά το σύνολο των φυσικών αριθμών καθαρά μαθηματικώς, χωρίς δηλαδή να αξιοποιήσουμε πληροφορίες σχετικά με τη μορφή ή τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του σύμπαντός μας.

    Λάμπρος
    Από πότε σύμφωνα με τον Καντόρ καλέ μου φίλε; Γιατί ο Ευκλείδης αναγνωρίζοντας τους λοιπούς αριθμούς, πλην του 1, σαν συγκείμενα πλήθη μονάδων, τους δίνει υλική υπόσταση; Δεν βλέπεις ότι ο Καντόρ «κλέβει» από τον Ευκλείδη τη σύλληψη του «συγκείμενου πλήθους» και την ονομάζει «σύνολο»; Ο Καντόρ συνέλαβε την έννοια του συνόλου ή ο Ευκλείδης; Μήπως ο Ευκλείδης λοιπόν δεν κατασκευάζει νοητικά το σύνολο των φυσικών αριθμών, χωρίς να ενδιαφέρεται να αξιοποιήσει πληροφορίες σχετικά με τη μορφή ή τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των αριθμών του από το σύμπαν και μάλιστα πριν από 2500 χρόνια; Ο τελικός κριτής για σένα είναι ο Καντόρ και λες «σύμφωνα με τον Καντόρ»; Καλό κι αυτό!

    paris
    Τα συμπεράσματα δικά σας.

    Λάμπρος
    Το επαναλαμβάνω.

    Καλές γιορτές

  19. Δημήτρης Ευαγγελόπουλος
    Απρίλιος 21, 2009 στο 6:12 μμ

    ……

  20. Λάμπρος
    Απρίλιος 21, 2009 στο 6:15 μμ

    !!!!!!

  21. katapus
    Σεπτεμβρίου 2, 2009 στο 12:03 μμ

    Μάλιστα. Πραγματικά μένω ακόμα έκθαμβος για το τι είδους συζητήσεις είναι ικανοί να κάνουν οι Έλληνες ακόμα και σήμερα. Ακόμα και στο πλαίσιο της ευγενούς αντιπαράθεσης, το μεσογειακό στοιχείο είναι έκδηλον και γιατί όχι, αξιοθαύμαστον. Ας εκθέσω λοιπόν και εγώ την ιδικήν μου άποψην. Από που να αρχίσω….
    Ας ξεκινήσω από τους προγόνους.
    Θείος ο αριθμός και θεική η φύσις του είπε ο Πυθαγόρας στα χρυσά έπη. Τα πάντα διέπονται από τον αριθμό, την γλώσσα του δημιουργού. Είχε τόσο μάλιστα θεοποιήσει τον αριθμό ώστε τους πρώτους 9 αριθμούς τους τιμούσε σαν γεννήτορες. Το εν, το 2 και το 3 ως ο πρώτος άρτιος και περιτός, το 4 ως το πρώτο τετράγωνο του πρώτου αρτίου, το 5 ως το πρώτο άθροισμα του πρώτου αρτίου με τον πρώτο περιττό, το 6 ως το πρώτο γινόμενο των δύο αυτών, το 7 ως ο αριθμός που δεν παράγεται από κανέναν άλλον, το 8 ως ο πρώτος κύβος του πρώτου αρτίου αριθμού , το 9 ως το πρώτο τετράγωνο του πρώτου περιττού.
    Ο πυθαγόρας στα χρυσά έπη είπε επίσις ότι οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος είναι ανάλογες των αποστάσεων των μουσικών φθόγγων και ότι οι κινήσεις τους κατά τρόπον τινά μας επηρεάζουν με τρόπο ανάλογο της μουσικής. Φυσικά ο έλλην μύστης κρατούσε τις αποδείξεις των θεωριών του όνο για τους λίγους.

    Παρόλαυτα όμώς, στα χρυσά έπη διατύπωσε το νόμο της παγκόσμιας έλξης φτυστόν όπως ο Νεύτωνας. Είναι απόλυτα φυσικόν λοιπόν ο Πυθαγόρας να έκλεψε τον Ισαάκ Νέυτωνα όπως και με τούς λοιπούς επιστήμονες της ανναγέννησης και μετέπειτα. Τους κατέκλεψαν οι αρχαίοι ¨ελληνες και τα προυσίασαν ως δικά τους. Φυσικά και τα μαθηματικά είναι η παγκόσμια γλώσσα. Εάν τώρα κάποιοι μαθηματικοί έκαναν ορισμένες προσθήκες για να βελτιώσουν την κατανόηση αυτό είναι άλλη υπόθεση.

    Περί του μηδενός. Όχι μόνο το γνώριζαν, έκαναν άπειρες διαλέξεις περί αυτού και για το΄εάν ο κόσμος θα μπρούσε να έχει δημιουργηθεί εκ του μηδενός. Υπήρχε ολόκληρη φιλοσοφία πίσω από το μηδέν. Βλέπε Ελεάτες με αρχηγό τον Παρμενίδη. Υπάρχει και διάλογος του Πλάτωνος, Παρμενίδης για το ον και το μη ον. Αγαπητέ φίλε Λάμπρο θα μπορούσα να αναφέρω άπειρα ρητά τω αρχαίων με την λέξη μηδέν μέσα. Στον συγκεκριμένο διάλογο μάλιστα χρησημοποίησαν την μέθοδο της επαγωγής και την εις άτοπον απαγωγή για τα συμπερασματά τους. Γιατί άραγε οι αρχαίοι να προσεπάθησαν να ερμηνεύσουν το όλον και τη δημιουργία μέσω μαθηματικών? Άραγε η επαγωγική μέθοδος επιννοήθηκε η το μυαλό μας έιναι δημιουργημένο έτσι ώστε να σκέφτεται επαγωγικά? Η θα μπορούσε ο δημιουργός μας να ήθελε να να σκεφτόμαστε επαγωγικά. Όπως και να έχει το πράγμα, έτσι σκεφτόμαστε και τα υλικά στο σύμπαν είναι κοινά και άρα και ο τρόπος συμπλοκής τους μέχρι τώρα έχει αποδειχτεί κοινός.

    Θυμάμαι αυτόν που με δίδασκε φυσική και μου έλεγε ποτέ να μην την μαθηματικοποιώ. Ύστερα από τόσα χρόνια κατάλαβα ότι η αλήθεια, όπως λέει και ο Αριστοτέλης είναι πάντα στη μέση. Εάν η φυσική διέπεται από μαθηματικά, από αριθμό εννοώ, τότε εάν αδυνατώ να κατανοησώ το φαινόμενο τότε και μόνο τότε ίσως ο αριθμός με βοηθήσει να ανοίξω τα μάτια μου ως προς το φαινόμενο.
    Σκοπός μου πάντα η καταννόηση.

    Ας επιστρέψουμε λίγο στους αρχαίους. ¨οταν μου δείξει κάποιος ένα γραφτό, κάποια απόδειξη τέλοςπάντον κινέζων ή ινδών η σουμερίων ή οποιουδήποτε άλλου λαού ναι γιατί όχι θα το δεχτώ. Δεν υπάρχει ούτε ένα. Αντιθέτως οι αρχαίοι έλληνες ήσαν πολυγραφότατοι.Οπότε, καλό θα ήταν να μην μεταχειρίζεσαι πράγματα που δεν υπάρχουν ή δεν έχεις δει ιδίοις όμμασι. Παραπλανάς.
    Εγώ μόλις τώρα αρχίζω.

    Διαιτιτική του Ιπποκράτη, ναι καλά ακούσατε, βιβλίο α-ζ.
    Μιλούσε για τα καιρικά φαινόμενα και πως επηρεάζουν την υγεία των ανθρώπων. Για αυτους που ζουν στο νότιο πόλο, και χιούνας πουλλής και ισχυρών παγετών, ομοιω και το βορεά. Σε βιβλίο διαιτιτικής ο μέγας ιατρός ήξερε όχι μόνο την ύπαρξη των πόλων της γης αλλά και τους παγετούς αλλά και πως επηρεάζουν την υγεία των ανθρώπων. Δεν τα λέω εγώ, ο Ιπποκράτης τα λέει. Συνεχίζει ο ιατρός και λέει και άλλα περίεργα μέσα. Λέει ότι το σύμπαν, το αποκαλεί ως όλον, ομοιάζει με τον τροχό των κεραμέων, αγγειοπλαστών δλαδή. Και αμφωτέρωσε άμα του όλου μιμητής την συμπεριφοράν. Δηλαδή το σύμπαν συστελοδιαστέλεται όπως ο τροχός των αγγειοπλαστών. Πριν τρία ή πέντε χρόνια το είπαν στις ειδήσεις για την τάχα τεράστια ανακάλυψη των επιστημόνων? Διαιτιτική Ιπποκράτη α-ζ για όλους τους ενδιαφερομένους. Μαθητής τους Δημοκρίτου γαρ.
    Αλλά ποιος θα κάτσει να διαβάσει Ιπποκράτη όταν υπάρχει ο Harrison, Rutherford και όλα τα συναφέστατα βαρύγδουπα ξενίκα ονόματα.

    Τι να πρωτοπω…Ο Σωκράτης περιγράφει την γη όπως την βλέπει κανείς από ψηλά. Ο τίμαιος του Πλάτωνα είναι η μόνη πηγή για την ύπαρξη της ατλαντίδας και ένα σωρό άλλα πράγματα. Οι κύκλοι του Πυθαγόρα? Ο Ευκλείδης, ο Θεώδορος, ο Αρίσταρχος, ο Πτολεμαίος ο Αρχιμήδης. Έαν έχει βγάλει κάτι η Ελλάδα αυτό ήταν μαθηματικοί. Προφανώς επίστευαν στον αριθμό πολύ περισσότερο από κάποιους άλλους. Φυσικά εδώ θα δώσω πεδίο να αναφερθούν και τα αντίστοιχα ονόματα των Ινδών-Ασιατών μαθηματικών.
    Όταν τους δείτε και έσεις πείτε μου και μένα. Τρανταχτό παράδειγμα ασιατικής μαθηματικής σκέψης αναφέρεται εις την Παλαιά Διαθήκη όπου ο αγαπημένος λαός του Θεού έκανε 40 χρόνια να βγει από την έρημο του Σινά. Ξέρετε γιατί?
    Είχαν την φυσική ως forte και ουχί τα μαθηματικά.

    Υστερα από τα παραπάνω ας τολμήσουμε να κάνουμε ορισμένα συμπεράσματα. Φαίνεται ότι οι αρχαίοι ημών πρόγονοι τιμούσαν ιδιαιτέρως τα μαθηματικά. Αμφισβήτησις? Ουδεμία.
    Υπάρχρουν αποδείξεις ασιατών οι άλλων λαών περί μαθηματικών? οχι μέχρι στιγμής. Μάλιστα.
    Αληθεύει ότι πολλοί δυτικοί και μάλιστα κατα την περίοδο της αναγέννησης τους (γιατί εμείς΄είχαμε αναγέννηση προ πολλού) ξεκίνησαν να βγάζουν τις επιστημονικές τους θεωρίες και μάλιστα μόλις καταστράφηκε το Βυζάντιο και μετέπειτα? Ω ναι, αληθή λέγεις. Έξαφνης έγινε το πράγμα.
    Μάλιστα.
    Παρουσίασαν τις θεωρίες αυτές ως ιδικές των? Ναι.
    Μάλιστα.
    Υπήρχαν αρχαίοι έλληνες που θεοποίησαν τον αριθμό ως την λογική με την οποία ο Θεός έπλασε τον κόσμο? Ναι, ο Πυθαγόρας. Θα έλεγε κανείς μάλιστα ότι επιεικώς είχε ψύχωση με τον αριθμό.Έτσι μας λέει ο ίδιος τουλάχιστον.
    Μάλιστα.
    Πως τα ξέρεις΄εσύ όλα αυτά? Δεν τα λεω εγώ. Χρυσά Έπη, Παρμενίδης, Τίμαιος, Κρατύλος, Διαιτιτική, ΄Φαίδρος, θεώδορος, Μικρά Φυσικά, Πολιτική, Περί Ψυχής και άλλα πολλά ων ουκ έστι αριθμός.
    Μάλιστα.
    Εγώ ιατρός ειμί. Μέχρι και στις δοσολογίες των φαρμάκων που δίνω αριθμός υπάρχει. Αν δεν σεβαστώ τον αριθμό θα πεθάνει ο ασθενής. Δια τούτου εις την εκπαιδευσή μου αναγκαστικά έπρεπε να τηρώ με σχολαστικότητα τις δοσολογίες των φαρμάκων εις το δεκαδικό σύστημα ίνα μη τους ασθενείς σχολάσω βιαίως απ’εμού.
    Τέλος πάντων ζήτω συγνώμη εάν ήμουν καυστικός πλέον του δέοντος αλλά όταν ακούω την ψευδή πιπίλα περί ασιατών επιστημόνων, διαρυγνύω τα ιμματιά μου.
    Θα δεχτώ κριτική για τα λεχθέντα μόνο με αποδείξεις ανάλογες αυτών που έφερα.

    Όσο για σας παιδιά , καλές εξετάσεις να έχετε και παρακαλώ, διατηρήστε την παρούσα σελίδα. Είναι υπέροχη και επικοδομοιτική και επίσης κοιτάχτε και λίγο τους αρχαίους ημών προγόνους. Θα εκπλαγήτε με αυτά που θα ανακαλύψετε.

  22. Λάμπρος
    Οκτώβριος 11, 2009 στο 7:17 μμ

    Αγαπητέ φίλε πραγματικά δεν κατανοώ τι ακριβώς θέλεις να πεις και να με συγχωρείς. Αναφέρεσαι σε μένα σαν να με εγκαλείς για πράγματα που λέω – τα οποία δεν λέω βέβαια – όπως π.χ. ότι οι Έλληνες δεν ήταν αρκετά δραστήριοι φιλοσοφικά, όπως οι ασιάτες!
    Που ακριβώς ισχυρίστηκα κάτι τέτοιο; Αυτό – το να λες ότι λέω χωρίς να το λέω – δεν συνηγορεί για διαλεκτική με προοπτικές κατανόησης μεταξύ μας.

    Λες:Ας επιστρέψουμε λίγο στους αρχαίους. ¨οταν μου δείξει κάποιος ένα γραφτό, κάποια απόδειξη τέλοςπάντον κινέζων ή ινδών η σουμερίων ή οποιουδήποτε άλλου λαού ναι γιατί όχι θα το δεχτώ. Δεν υπάρχει ούτε ένα. Αντιθέτως οι αρχαίοι έλληνες ήσαν πολυγραφότατοι.Οπότε, καλό θα ήταν να μην μεταχειρίζεσαι πράγματα που δεν υπάρχουν ή δεν έχεις δει ιδίοις όμμασι. Παραπλανάς.
    Εγώ μόλις τώρα αρχίζω.

    Προς τούτο φρονώ θα ακολουθείς διότι εγώ έχω αρχίσει από καιρό και δεν το λέω για να σε μειώσω, όπως με μειώνεις εσύ χαρακτηρίζοντάς με σαν έναν που παραπλανεί.
    Για τότι λέω έχω αποδείξεις, αλλά δεν έχω αποδείξεις για αυτά που δεν λέω και τα λες εσύ για μένα.
    Τιμώ τους Έλληνες πρωτοπόρους στη φιλοσοφία, στις επιστήμες, στην τέχνη, όχι γιατί είμαι Έλληνας, αλλά γιατί το αξίζουν και μου κάνει εντύπωση η στάση σου που με λίγα λόγια λέει «εγώ με τους Έλληνες κι εσύ πάρε όλους τους άλλους»!
    Η αντιπαράθεσή μου με τις πυθαγόρειες αντιλήψεις (μετενσαρκωμετεμψυχώσεις στη θρησκευτικοφιλοσοφία του και πυθαγόρειο θεώρημα στη γεωμετρία και γενικότερα στα μαθηματικά), δεν συνεπάγεται ότι τα βάζω με όλους τους Έλληνες αγαπητέ φίλε. Πως απέκτησες αυτή την αντίληψη στα καλά καθούμενα να εξυμνείς τους αρχαίους πνευματικούς Έλληνες, με ένα λεκτικό απευθυνόμενος σε μένα, που μπορεί να το εκλάβει ο άλλος ότι το απευθύνεις σε κάποιον που δεν παραδέχεται την πνευματική τους, όχι μόνο αξία, αλλά και συμβολή στην παγκόσμια πνευματικότητα. Μου κάνει εντύπωση.
    Πραγματικά θα χαρώ να συνεχίσεις ότι άρχισες, αλλά θα σε παρακαλέσω επί όσων ισχυρίζομαι και όχι επί όσων εσύ λες ότι ισχυρίζομαι και με καλείς μάλιστα να τα αποδείξω! Πρόσεξε καλέ μου γιατρέ – για να αστειευτώ – διότι το πρώτο βήμα στην επιστήμη σου με σκοπό την όποια θεραπεία ασθενούς, είναι η σωστή διάγνωση, διότι αν δεν υπάρχει ενεργός αυτή η προϋπόθεση, τι να την κάνεις την φαρμακευτική αγωγή και τις πρέπουσες δοσολογίες;
    Υγεία αγαπητέ.

  23. katapus
    Νοέμβριος 5, 2009 στο 11:32 πμ

    Καταρχάς δεν είναι προσωπικό εναντίον εσάς προσωπικά αγαπητέ Κ. Λάμπρε. Αναφέρωντας το ρήμα παραπλανάς, εννοώ όλους εκείνους που ισχυρίζονται τα περί μαθηματικών και φιλοσοφίας των ασιατών, όχι ότι έχω κάτι εναντίων τους αλλά προς αποκατάστασιν της αλήθειας, έστω όπως την έχω καταννοήσει εγώ.

    Παραπάνω είπατε το εξής:
    »Το μηδέν αγαπητέ φίλε Paris «μπήκε στη ζωή» των μαθηματικών περί τα μέσα της χιλιετίας 1000 – 2000 από τους ασιάτες, όπως τα χαλιά από την Περσία. Λες οι αρχαίοι Έλληνες που δεν γνώριζαν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς να μη μπορούσαν να βρουν άκρη με τα μήλα; Τι αστεία πράγματα είναι αυτά; Εξάλλου ακόμα και σήμερα στους φυσικούς αριθμούς σε άλλες περιπτώσεις αναγνωρίζεται το μηδέν σαν αριθμός και σε άλλες όχι. Στην περίπτωση λοιπόν που κάποιος με ρωτήσει πόσα μήλα έχω και εγώ δεν έχω μήλα, θα του απαντήσω δεν έχω μήλα και όχι έχω μηδέν μήλα!
    Είμαι περίεργος να μου πεις τι πρέπει να κάνω αποδεκτό σαν «ένα μήλο» ώστε να αποκτήσω το χρήσιμο εργαλείο 2! Ξέρεις τι είναι μονάδα ή ένα; Ξέρεις τι είναι 2 ή όποιος άλλος αριθμός πλήθους και σε τι διαφέρει από την μονάδα;»

    Θα ήθελα λοιπόν και σας παρακαλώ γιαυτό, να μου πείτε από που συμπαράνατε ότι οι αρχαίοι έλληνες δεν εγνώριζαν περί του μηδενός, την στιγμή που υπήρχε ολόκληρο φιλοσοφικό κίνημα γύρω από αυτό, και ποιος υποστηρίζει οτι ήλθε εξ ανατολών? Με όλη μου την δύναμη θα ανακαλέσω ότι προείπα εαν υπάρχει έστω και μία απόδειξις περί αυτού.

    Επ’ουδενί δεν είμαι ο μόνος τιμητής και δεν θα ήθελα να είμαι ο μόνος τοιούτος εν όσα αφορούν τους προγόνους.
    Το παραπάνω κείμενο που έγραψα, φυσικά δεν έχει στόχο να πλήξει κάποιους αλλά να κάνει ορισμένους νέους ανθρώπους με νοημοσύνη και σπίθα, να ψάχνουν και να ελένχουν τα λεγόμενα που τους παρουσιάζονται ανά καιρούς.

    Δεν σε κατηγόρησα για κάτι και προς Θεού διάβασα με τεράστιο ενδιαφέρον τα όσα ανάφερες για τον Ευκλείδη, πράγματα τα οποία φυσικά και αγνοώ. Μόνο και μόνο η αναφορά σου αυτή δηλώνει αν μη τι άλλο το πόσο ενδιαφέρεσαι και ασχολήσαι με πραγματικά υπέροχη γνώση.

    Το ότι έκανα για μία φορά αναφορά στο ονομά σας, έχει να κάνει σχέση με την αναφορά που κάνατε, παραπάνω, περί του μηδενός και ότι προήλθε από την Ασία 2000 πριν. Πέραν αυτού τα υπόλοιπα που ανάφερα δεν έχουν ουδεμία σχέση με εσάς προσωπικά. Ίσως και μάλλον έπραξα λανθασμένα αναφέρωντας το ρήμα ‘παραπλανάς’ στο δεύτερο πρόσωπο, αλλά ξανατονίζω, ουδεμίαν σχέσιν έχει με εσάς.

    Ακόμα και λάθος να έχετε κάνει στα περί του μηδενός λεγόμενα, προς θεού, δεν είμαι εγώ αυτός που θα σας κρίνω και ούτε θα βγάλω λανθασμένη διάγνωση περί του ατόμου σας, από την στιγμή που βρίσκω τις παραπάνω αναφορές σας πολύ διδακτικές και ενδιαφέρουσες. Τουναντίον, σας ευχαριστώ θερμά που εμπλουτίσατε τις γνώσεις μου.

    Υγειαίνετε.

  24. Λάμπρος
    Νοέμβριος 17, 2009 στο 2:54 μμ

    Αγαπητέ katapus, δεν είναι στόχος μου να ανακαλέσετε. Αναφέρομαι στο μηδέν σαν αριθμητικό στοιχείο ή σαν μαθηματικό «αντικείμενο». Δεν κάνετε αντιπαράθεση σε μένα. Μεταφέρω ακριβώς. «Το γεγονός είναι ότι οι αρχαίοι Έλληνες αγνοούσαν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς».
    1. Μαθηματικός, καθηγητής του πανεπιστημίου Κρήτης, Πάρις Πάμφιλος – Εισαγωγή στη γεωμετρία – Κεφάλαιο 2 – Πραγματικοί αριθμοί, σειρά 3η.
    http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/Geo2000.pdf
    2. Ιωάννης Πέππας:
    http://ypeppas.blogspot.com/2007/10/blog-post_9424.html
    ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Το 12ο αιώνα μ.Χ. το μηδέν ήρθε και στην Ευρώπη, ύστερα από 600 χρόνια καθυστέρησης!
    3. Μπείτε σε όποιο εγκυκλοπαίδεια επιθυμείτε που να αναφέρει την ιστορία του μηδενός.
    Δεν αυτοσχεδιάζω αγαπητέ και αυτά που σας παραθέτω είναι ενδεικτικά των πολλών αναφορών περί την ιστορία του μηδενός.
    Είσαστε ευγενικός και χαίρομαι.
    Υγεία.

  25. Dimitris
    Ιουλίου 17, 2013 στο 12:09 πμ

    ο κ. Λάμπρος έχει δίκιο σε όλα! δεν έχω χρόνο τώρα να γράψω (έχετε τον σεβασμό μου και όλοι οι άλλοι αξιότιμοι κύριοι και σας ευχαριστούμε…) Δημήτρης

  1. No trackbacks yet.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: